프로그래밍과 논리 / 수학(증명문제2)

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• n이 홀수이면 n^2을 8로 나눈 나머지는 1임을 증명하라
  (힌트: n을 4로 나눈 나머지가 1인 경우와 3인 경우로 나누어 보자.

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• 어떤 자연수를 제곱하여도 그 결과를 3으로 나눈 나머지는 2가 아님을 증명하라.

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• (귀류법)
  루트 2는 무리수임을 증명하라.
  (힌트: 유리수가 된다는 것은 기약분수로 표현이 된다는 것이다.)

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• log2(5)는 무리수임을 증명하라.

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• (수학적 귀납법)
  1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2 임을 증명하라

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• 2 이상의 모든 자연수 n에 대해 n^3 - n 은 6으로 나누어 떨어짐을 증명하라.

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• n x n 체스판이 있다. 시작 시점에 일부 칸들이 감염되어 있다. 매초마다 감염이 증가할 수 있다.
  규칙은 다음과 같다. 어떤 감염되지 않은 칸은 상하나 좌우로 인접한 네 개의 칸들 중 2 개 이상이 감염된 상태일 때 감염된다. 이 규칙에 따라 모든 칸들을 감염시키기 위해서는 초기에 n개 이상의 칸들이 감염되어 있어야 함을 증명하라.
  (힌트: 금방 떠오르는 것은 답이 아닐 가능성이 많다.)